Курс лекций «Математические модели в биологии»
читает доцент Татьяна Юрьевна Плюснина для студентов 2-ого года обучения специалитета Биологического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Параллельно с лекциями проходят семинары (практические занятия), в ходе которых студенты закрепляют полученные на лекциях знания и знакомятся с программным обеспечением, используемым для анализа математических моделей и проведения вычислительных экспериментов. После прохождения курса студенты сдают экзамен. Курс включает 14 лекций по 2 академических часа.
- Учебник Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии (изд. 2-е, испр. и дополн.) Издательство РХД, 2011 г. 560 стр. ISBN 978-5-93972-847-8. Предыдущее издание (значительно более краткое!) находится в свободном доступе в сети Интернет по ссылке https://www.library.biophys.msu.ru/LectMB/
- Учебник Мятлев В.Д., Панченко Л.А., Ризниченко Г.Ю., Терёхин А.Т. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели (изд. 2-е, испр. и дополн.) М.: Издательство Юрайт, 2018. — 321 с. — (Серия : Университеты России). — ISBN 978-5-534-01698-7.
- Учебное пособие Плюснина Т.Ю., Фурсова П. В., Дьяконова А. Н., Тёрлова Л. Д., Ризниченко Г. Ю. Математические модели в биологии (Изд. 3-e доп. Учебное пособие. М.-Ижевск: НИЦ: «Регулярная и хаотическая динамика», 2021. 174 с. ISBN: 978-5-4344-0922-3) — электронная версия
Лекции будут прочитаны в аудитории ББА в 1055 по понедельникам с сентября по декабрь 2025 года. Возможны изменения в расписании!
1 сентября. Лекция 1. Введение. От экспоненты Мальтуса к биологии систем. Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка
Часть 1. Введение. От экспоненты Мальтуса к биологии систем.
Понятие модели. Объекты, цели и методы моделирования. Модели в разных науках. Компьютерные и математические модели. История первых моделей в биологии. Современная классификация моделей биологических процессов. Регрессионные, имитационные, качественные модели. Принципы имитационного моделирования и примеры моделей. Специфика моделирования живых систем.
Часть 2. Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка.
Модели, приводящие к одному дифференциальному уравнению. Понятие решения одного автономного дифференциального уравнения. Стационарное состояние (состояние равновесия). Устойчивость состояния равновесия. Методы оценки устойчивости.
8 сентября. Лекция 2. Модели роста популяций (1)
Непрерывные модели популяционной динамики: экспоненциальный рост, логистический рост, модели с наименьшей критической численностью. Модель роста человечества.
15 сентября Лекция 3. Модели роста популяций (2).
Модели с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Диаграмма и лестница Ламерея. Типы решений при разных значениях параметра: монотонные и затухающие решения, циклы, квазистохастическое поведение, вспышки численности. Матричные модели популяций
22 сентября Лекция 4. Базовые модели математической биологии, представленные двумя автономными уравнениями (1)
Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Метод изоклин. Главные изоклины. Устойчивость стационарного состояния. Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр
29 сентября Контрольная работа №1 (письменно)
6 октября Лекция 5. Базовые модели математической биологии, представленные двумя автономными уравнениями (2)
Нелинейные уравнения. Метод Ляпунова линеаризации систем в окрестности стационарного состояния. Метод функции Ляпунова. Примеры исследования устойчивости стационарных состояний моделей биологических систем. Химические реакции первого порядка. Уравнения Лотки. Уравнения Вольтерра.
13 октября Лекция 6. Мультистационарные системы
Примеры систем с двумя устойчивыми стационарными состояниями. Вольтерровская модель конкуренции двух видов. Генетический триггер Жакоба и Моно
20 октября Лекция 7. Проблема быстрых и медленных переменных. Теорема Тихонова
Метод квазистационарных концентраций. Теорема Тихонова. Редукция систем с сильно различающимися характерными временами изменения переменных. Уравнение Михаэлиса-Ментен
27 октября Лекция 8. Колебания в биологических системах
Понятие автоколебаний. Изображение поведения автоколебательной системы на фазовой плоскости. Предельные циклы. Условия существования предельных циклов. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний. Модель Брюсселятор. Примеры автоколебательных моделей процессов в живых системах. Модели колебаний кальция. Система кальциевой регуляции
10 ноября Контрольная работа №2 (письменно)
17 ноября Лекция 9. Динамический хаос. Модели биологических сообществ. Фракталы
Детерминированный хаос. Понятие странного аттрактора. Квазистохастические модели популяций. Показатель Ляпунова. Фракталы. Фрактальная размерность. Фрактальные структуры в живых системах
24 ноября Лекция 10. Модели взаимодействия видов. Агентные модели
Модели взаимодействия видов. Гипотезы Вольтерра. Аналогии с химической кинетикой. Вольтерровские модели взаимодействий. Классификация типов взаимодействий. Конкуренция. Хищник-жертва. Обобщенные модели взаимодействия видов. Модель Колмогорова. Модель взаимодействия двух видов насекомых МакАртура. Агентные модели. Модель популяции диатомовых водорослей. Модель образования стад животных. Модель поведения волков в заповеднике
1 декабря Лекция 11. Распределенные биологические системы (1)
Система реакция - диффузия. Устойчивость гомогенного стационарного состояния. Распространение импульсов, фронтов и волн. Уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова-Фишера. Модели распространения импульсов и волн. Сердечные аритмии
8 декабря Лекция 12. Распределенные биологические системы (2)
Система реакция - диффузия. Устойчивость гомогенного стационарного состояния. Система Тьюринга. Колебательная неустойчивость. Диссипативные структуры. Модели морфогенеза. Модели раскраски шкур животных
15 декабря Студенческая конференция
Архив
|
